Razones trigonométricas básicas para el diseño.

Buenos días.

Hoy emplearemos la trigonometría para resolver los siguientes problemas.
Son tres las razones trigonométricas básicas :

Seno, Coseno y Tangente

Su significado geométrico y matemático es el siguiente:

tg(α) = sen(α)/cos(α) = a/b

Es decir, el cos(α) no es un ente matemático súper extraño, sino la base de un triángulo rectángulo dividido por su hipotenusa: cos(α)= b/h

Del mismo modo el sen(α) es la altura de un triángulo rectángulo (Ojo lado opuesto a α) dividido entre la hipotenusa: sen(α)= b/h

Nota: En la circunferencia goniométrica seno es a y coseno es b, porque la hipotenusa (radio) es 1.

La tangente, no es otra cosa que la razón entre el sen y el cos: tg(α) = sen(α)/cos(α) = a/b

Ejemplo 1:

Queremos calcular la altura de un edificio sabiendo que la sombra mide 35 metros y su ángulo con el suelo es de 30º. ¿Cómo la calcularíamos?

Aplicando la fórmula de la tangente: tg(α) = a/b. Despejamos a = tg(α) x b

a = tg(30) x 35 = 20,21 m


2. Un  triángulo rectángulo tiene 6cm de base y 8cm de altura. ¿Cuál será su hipotenusa utilizando razones trigonométricas? Demostrarlo luego por Pitágoras.

Las dos fórmulas en las que se puede despejar la hipotenusa son: 

sen(α)= a/h

cosα)= b/h

Pero nos falta el ángulo... Lo podemos hallar con la tangente tg(α) = a/b = 8/6 = 1,3

Por tanto α = arctg(1,3) = 52,43º

Con el ángulo, despejando hipotenusa de la fórmula del seno o del coseno, obtenemos la solución:

sen(α)= a/h      h x sen(α)= a   h =  a/sen(α)   =   8/sen(52,43º) = 8/0,79 = 10,12 cm

Por Pitágoras sería h = Raíz de la suma de los catetos al cuadrado = Raíz de (8 x 8 + 6 x 6) = 10 cmas.